sábado, 25 de septiembre de 2010

TECNICAS DE CONTEO

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a  n1 x n2.

¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer
premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y
posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras
distintas de repartir los tres premios.

n
10 x 9 x 8 = 720


¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se
admiten repeticiones.

26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000

n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n.
El símbolo ! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es decir, sea 
n
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Por definición 0! = 1

 Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.

Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc.

 Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas:

* La técnica de la multiplicación
* La tecnica aditiva
* La tecnica de la suma o Adicion
* La técnica de la permutación
* La técnica de la combinación.

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar  puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.


 N1 x N2 x ..........x  Nr  maneras o formas
Ejemplo:
Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2   y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3)(4)=12


PRINCIPIO ADITIVO.

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada  a cabo de,

                        M + N + .........+ W  maneras o formas

Ejemplos:
1)      Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?


Solución:

M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric


      M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora


PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION

Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de:
                      m+n maneras.

Ejemplo:
Una pareja que se tiene que casar, junta dinero para el enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un modelo económico ó un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un modelo económico como modelos un residencial, un californiano y un provenzal. ¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?

PRESA                     PLAYAS
Económico             Residencial
Condominio           Californiano
                              Provenzal
   m=2                           n=3

           2+3= 5 maneras


PRINCIPIO DE PERMUTACION:

A diferencia de la formula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es:
                                               
                                              FÓRMULA: n P r = n! (n - r)

Ejemplo: ¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes?
 Aplicando la formula de la permutación tenemos:

 
                                                  
 n P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760

Donde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.
NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. !



PRINCIPIO DE COMBINACION:

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones: AB, AC, BC

Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.
La fórmula de combinaciones es:

                                                          n C r = n!                          r! (n – r)!

Ejemplo: En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto?
Usando la fórmula de combinaciones:
n C r = n! = 7! = 7! = 35
 r! (n – r )!  3! (7 – 3)!  3! 4!

El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.


Estas son una pagina interactiva interesantes, que les puede ser muy util para el mejor  entendimiento de las Tecnicas de Conteo:


12 comentarios:

  1. Saludos, Soy un profesor de matematicas, espero intercambiar informacion, mi blog es jlg78.blogspot.mx (matematicas basicas)

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  2. creo que las mate aveces son poco complicadas espero y me pueda ayudar con las dudas k tena ,gracias por compartir sus conocimientos a todos los k los necesitamos!!!!!!!!!!!!!!!

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  3. Muy bueno ejemplos! Una critica constructiva seria q le cambiaran los colores claros q no se ven.. por lo demas bn. Son solo algunas partes.

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  4. es una muy buena pagina..el problema es q solo tiene un tema podrian poner mas haciendose conoser mas y tener personas q sepan y estos pueden aportar sobre temas matematicos ,algebraicos.etc

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  5. Esta muy bien la información, lo único malo es que hay colores claros que casi no se ven.

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  6. hola tengo un problema y esque no entiendo muy bien y me han dejado estos 5 problemas
    1. cuantos numeros de 3 cifras se pueden armar con los digitos 12y3 sin repetir digitos y despues repitiendo .

    2.cuantas placas de carro se pueden realizar con los numeros del 1 al 5
    si se sabe que en ninguna placa pueden existir repeticiones ,que importa las posiciones de los numeros y cada placa tiene 3 digitos
    3) de cuantas maneras se pueden organizar 9 personas en 4 silla

    4)
    un profesor de literatura presenta a sus estudiantes 9 obras literarias y les pide q cojan 3 para trabajar en el periodo
    * de cuantas maneras un estudiante puede seleccionar 3 de 9 obras

    5)
    un comite se conforma por un presidente un bisepresidente ,secretarioy 3 vocales
    se tienen 10 personas para formar dicho comite cuantas opciones tiene para formar dicho comite

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  7. amigo, checa tu ortografia, de todas maneras me sirvio mucho la informacion contenida. espero tengas mas asi..

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  8. esto fue un buen aporte para mi conocimiento.

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  9. Es bastante extenso el texto, pero me ha servido bastante; tengo unos ejercicios de probabilidad que me ha costado resolverlos, aquí les va espero me pueda ayudar:

    1. ¿Cuál es la probabilidad de que un(a) ingeniero(a) al revisar cuatro computadores :
    a. Todos estén en perfecto estado?
    b. Tres estén en perfecto estado?
    c. Dos tengan problemas?

    2. El propietario de una cadena de librerías contrata a un (a) ingeniero(a) para que le haga un software para la distribución de libros y poder solucionar situaciones como la siguiente: llegan 15 libros y deseo ordenar 7 de ellos en un estante. ¿De cuántas maneras distintas puedo hacerlo?

    3. Un(a) ingeniero(a)es contratado para arreglar un computador, cree que hay 3 causas y las señalas con las letras: D, E, F.
    a. Enumere el orden que podría dar a la solución.
    b. Utilice la fórmula ¿De cuántas maneras se puede permutar?

    4. Un joven ingeniero, hijo único desea tener una familia numerosa. Tiene el siguiente dilema y quiere solucionarlo ¿De cuántas maneras puedo formar una familia de 6 hijos, si deseo que 4 sean niñas y 2 niños?

    5. Un (a) ingeniero(a) es contratado(a) por una multinacional y le entrega a su cargo un grupo de 15 trabajadores para que forme equipos de acuerdo a situaciones específicas ¿Cuántos equipos diferentes de 3 trabajadores puede formar?

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