sábado, 11 de septiembre de 2010

PROBABILIDAD Y SUCESOS

El nacimiento del cálculo de probabilidades estuvo ligado a los juegos de azar. Cardano (que tenía una afición desordenada por el ajedrez y los dados, según reconoce en su autobiografía) escribió  “Libro sobre los juegos de azar”, publicado póstumamente en 1663, y que fue considerado el primer tratado serio sobre las probabilidades matemáticas. La correspondencia que Pascal y Fermat intercambiaron ( a mediados del siglo XVII) sobre la geometría del azar marca el nacimiento de la nueva ciencia.


En la actualidad el Calculo de Probabilidades ha llegado a ser una rama de las Matematicas de mayor penetracion en todos los campos, directamente o a travez de la Estadistica.

EXPERIMENTOS
Es un proceso que se observa con el fin de establecer una relacion entre condiciones en que se realizan y los resultados que se obtienen.

Experimento aleatorio:
Se llama experimento o fenomeno aleatorio a aquel que es susceptible de dar varios resultados, no pudiendo predecir de antemano cual de ellos va a producirse en una experiencia concreta.
Cada ejecución del experimento se llama una prueba del mismo.
Ejemplo: Lanzar un dado o una moneda al aire son experimentos aleatorios.

Experimento Determinista:

Se llama experimento determinista al que realizado en las mismas condiciones se obtiene siempre el mismo resultado (de estos se ocupa la Fisica)


SUCESOS

En estadística, un evento o suceso es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio.

Se llama suceso de un experimento aleatorio a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral "E" . El conjunto de todos los sucesos de un experimento aleatorio se conoce como espacio de sucesos y se representa por "S".
  • Suceso: cada uno de los resultados de un experimento aleatorio; suceso elemental es cada uno de los resultados más simples, más directos de un experimento aleatorio. Ej.: ”obtener un 3” al lanzar un dado es un suceso elemental; ”obtener cifra par” es un suceso no elemental; ambos son resultados del experimento, pero el primero es más directo (en lo que sigue, hablaremos de suceso elemental y de resultado.indistintamente).

  •  Espacio muestral :conjunto de todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio; desde este punto de vista, un suceso (elemental o no elemental) es cualquier subconjunto del espacio muestral. Ej.: al lanzar un dado para ver qué número sale, el espacio muestral de ese experimento aleatorio es: E= {1, 2,3, 4, 5,6}; cada uno de los elementos de ese conjunto: 1, 2, ...6, es un suceso elemental, y cada subconjunto posible es un suceso; por ejemplo, el subconjunto S={2, 4,6} es el suceso ”salir par”, y el subconjunto S= {1, 2,3} es ”salir 1, 2 ó 3”.
Ante este atropello de definiciones podemos llegar a pensar que suceso y punto muestral es lo mismo, pero realmente no lo es. Un ejemplo claro lo podemos ver con el lanzamiento del dado, un suceso sería por ejemplo que salga número par, para lo cuál no servirían los puntos muestrales [2,4,6]. De ahí las diferencias entre unos y otros.

En la práctica sobre cada espacio muestral, asociaremos un espacio de sucesos. Como ejemplo para lanzar una moneda al aire, tendremos el siguiente cuadro:

E= {Cara, Cruz}

S= {{Ø}, {Cara}, {Cruz}, {Cara,Cruz}}

Llevado prácticamente al mundo de nuestras apuestas, consideremos el partido de la final pasada de Wimbledon que enfrentó a Roger Federer y Rafael Nadal. El esquema sería:

E= {Federer, Nadal}

S= {{No Gana Nadie}, {Federer}, {Nadal}, {Ganan Ambos}}


PROBABILIDAD DE SUCESOS:

Nos referimos a las distintas relaciones que pueden tener dos sucesos entre sí, así como también, a las posibles relaciones que se pueden establecer entre estos. En general, la probabilidad de que ocurra un suceso puede determinarse experimentalmente llevando a cabo muchas veces el experimento correspondiente y midiendo la frecuencia con que se repite el suceso.

Ley de Laplace. La probabilidad de un suceso (equiprobable) se calcula dividiendo el número de resultados favorables a dicho suceso entre el número de resultados posibles:
P =  S
        E       (Ley de Laplace)


Los valores de probabilidad siempre están entre 0 y 1: 0 < P < 1 (Nota: con las barras de S y E quiere decirse ”número de elementos de S” y ”número de elementos de E”, respectivamente.)



TIPOS DE SUCESOS:

Suceso elemental: Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5.

Suceso compuesto: Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.

Suceso seguro: Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).

Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7.

Suceso imposible: Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.

Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.

Sucesos compatibles: Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.

Sucesos incompatibles: Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.

Sucesos independientes: Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Al lazar dos dados los resultados son independientes.

Sucesos dependientes: Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.

Suceso contrario: El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por.

Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.


OPERACIONES CON SUCESOS:

UNION DE SUCESOS:

El suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B. La probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersección


Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6.

P(A) = 3 / 6 = 0,50
P(B) = 3 / 6 = 0,50
P (A  B) = 2 / 6 = 0,33

Por lo tanto,

P (A u B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666



INTERSECCION DE SUCESOS:

Es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B. Es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o más sucesos que se intersectan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elemntos comunes.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que sea mayor que 3. La intersección de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el 6.

Su probabilidad será por tanto:

P(A ^ B) = 2 / 6 = 0,33

 COMPLEMENTO DE UN SUCESO:

La probabilidad de un suceso complementario (A) es igual a 1 - P(A), porque si definimos por ejemplo un suceso como la obtención de un número par al lanzar el dado, si no sale par tendrá que ser impar. Como ejemplo: si lanzamos un dado, el suceso (A) es que salga un número impar, por lo tanto su complementario, suceso (B), es que obtengamos un número par.

De esta manera, la probabilidad de cada suceso es:

• P(A) = 3 / 6 = 0,50 ó 50%

• P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50 ó 50%

La unión de dos sucesos complementarios es igual a 1. Podemos darnos cuenta si analizamos el caso de unión de sucesos incompatibles que revisamos más arriba, aún cuando sabemos que la unión de sucesos incompatibles no siempre es 1.


DIFERENCIA DE UN SUCESO:

La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.

Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B. A − B se lee como "A menos B".


Ejemplo


Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A − B.


A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A − B = {2, 4}



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