jueves, 23 de septiembre de 2010

COMBINATORIA

¿Qué es la Combinatoria?

La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.

COMBINACIONES:
Una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.

Este es un claro ejemplo donde nos explica de una forma mas clara las combinaciones:

"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.
  • NO influye el orden en que se colocan.
  • Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.

¿Cómo se calculan?

 Combinaciones:
Para calcular el número de combinaciones se aplica la siguiente fórmula:
El termino " n ! " se denomina "factorial de n" y es la multiplicación de todos los números que van desde "n" hasta 1.
Por ejemplo: 4 ! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
La expresión "Cm,n" representa las combinaciones de "m" elementos, formando subgrupos de "n" elementos.

Ejemplo: C10,4 son las combinaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4 elementos:
Es decir, podríamos formar 210 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10 elementos.

Existen dos tipos: combinaciones sin repetición y combinaciones con repetición, cuyos símbolos son los siguientes:
 Combinaciones con Repeticion

  Combinaciones sin Repeticion

Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).

Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).


PERMUTACIONES:
Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

En pocas palabras este ejemplo nos explica con mayor claridad sobre las permutaciones:
La combinación de la cerradura es 472": ahora importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

En matemáticas, dado un conjunto finito con todos sus elementos diferentes, llamamos permutación a cada una de las posibles ordenaciones de los elementos de dicho conjunto.
Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

¿Cómo se calculan?

Para calcular el número de permutaciones se aplica la siguiente fórmula:
La expresión "Pm" representa las permutaciones de "m" elementos, tomando todos los elementos. Los subgrupos se diferenciaran únicamente por el orden de los elementos.
Ejemplo: P10 son las permutaciones de 10 elementos:
 

 Es decir, tendríamos 3.628.800 formas diferentes de agrupar 10 elementos.


La noción de permutación suele aparecer en dos contextos:
  • Como noción fundamental de combinatoria, centrándonos en el problema de su recuento.
  • En teoría de grupos, al definir nociones de simetría.

  • Influye el orden en que se colocan.
  • Tomamos todos los elementos de que se disponen.
  • Serán Permutaciones SIN repetición cuando todos los elementos de que disponemos son distintos.
  • Serán Permutaciones CON repetición si disponemos de elementos repetidos. (Ese es el nº de vaces que se repite elemento en cuestión).
Es por ello que también se llaman ordenaciones. Los símbolos que utilizamos son los siguientes:
Permutaciones sin repeticion

Permutaciones con repeticion

Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos.
El número de estas permutaciones será:
Llamamos a las permutaciones con repetición de n elementos tomados de a en a, de b en b, de c en c, etc, cuando en los n elementos existen elementos repetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces, otro c veces, etc) verificándose que a+b+c+...=n.

El número de estas permutaciones será:
VARIACIONES:
Las variaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:
  • Influye el orden en que se colocan.
  • Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.
¿Cómo se calculan?

Para calcular el número de variaciones se aplica la siguiente fórmula:

La expresión "Vm,n" representa las variaciones de "m" elementos, formando subgrupos de "n" elementos. En este caso, como vimos en la lección anterior, un subgrupo se diferenciará del resto, bien por los elementos que lo forman, o bien por el orden de dichos elementos.
Ejemplo: V10,4 son las variaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4 elementos:

Es decir, podríamos formar 5.040 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10 elementos.

Existe dos tipos: variaciones sin repetición y variaciones con repetición, cuyos símbolos son los siguientes:
Variaciones sin Repeticion

Variaciones con Repeticion

Las variaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.

El número de variaciones que se pueden constriur se puede calcular mediante la fórmula:

Las variaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.

El número de variaciones que se pueden constriur se puede calcular mediante la fórmula:
El número de combinaciones que se pueden constriur se puede calcular mediante la fórmula:


 
Estas son unos links donde podran aprender de una forma interactiva sobre las Combinaciones, Permutaciones y Variaciones:

http://club.telepolis.com/ildearanda/index.html

 http://www.amschool.edu.sv/Paes/e5.htm



DIVIERTETE APRENDIENDO


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