AXIOMAS Y TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD

Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuación se enumeran.

AXIOMAS

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Fueron formulados por Kolmogórov en 1933.

Axiomas de Kolmogórov:

Primer axioma:

La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.

0 £ p(A) ³ 1

Ejemplo: La probabilidad de sacar par en un dado equilibrado es 0,5. P(A)=0,5

Segundo Axioma:

La probabilidad de que ocurra el espacio muestral d debe de ser 1.

                                                           p(d) = 1

Ejemplo: La probabilidad de sacar un número del 1 al 6 en un dado equilibrado es "1".

Tercer Axioma: 

Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la,

p(AÈB) = p(A) + p(B)

Ejemplo: La probabilidad de sacar en un dado "as" o sacar "número par" es la suma de las probabilidades individuales de dichos sucesos.

Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.

Generalizando:

Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A₁, A₂, A₃,.....An, entonces;

                               p(A₁ÈA₂È.........ÈA_n) = p(A₁) + p(A₂) + .......+ p(A_n)

Ejemplo:

Para el experimento aleatorio de tirar un dado, el espacio muestral es W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. En este espacio el conjunto de sucesos es P(W) = {Æ, {1}, {2}, ...{1,2}, {1,3}, ...{1,2,3,4,5,6}}. Para establecer una probabilidad hay que asignar un número a todos esos sucesos.

Sin embargo si se ha asignado a los sucesos elementales p({1})= p({2})= ...= p({6})= 1/6, por la propiedad ii), p.e. la probabilidad del suceso {1, 3} es p({1,3})= p({1})+ p({3})=2/6.

Nota: El suceso {1} es: "el resultado de tirar el dado es la cara 1", el suceso {1, 3} es: "el resultado de tirar el dado es la cara 1, o la 3", el suceso {1, 3, 5} es: "el resultado de tirar el dado es una cara impar".

TEOREMAS

TEOREMA 1. Si f es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra f debe ser cero.

p(f)=0

 

  

Ejemplo : La probabilidad de que un estudiante sea mujer es "1 menos la probabilidad de que no sea varón". 

DEMOSTRACIÓN:

Si sumamos a fun evento A cualquiera, como f y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(AfÈ)=p(A) +p(f)=p(A). LQQD

TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, A^c debe ser,

p(A^c)= 1 – p(A).

DEMOSTRACIÓN:

Si el espacio muestral d, se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y A^c luego d=AÈA^c, por tanto p(d)=p(A) + p(A^c) y como en el axioma dos se afirma que p(d)=1, por tanto, p(A^c)= 1 - p(A) .LQQD

TEOREMA 3. Si un evento A Ì B, entonces la p(A) £ p(B).

DEMOSTRACIÓN:

Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=AÈ(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)³0 entonces se cumple que p(A)£p(B). LQQD

TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) – p(AÇB)

DEMOSTRACIÓN: Si A y B son  dos eventos cualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AÇB, por tanto, A=(A \ B)È(AÇB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AÇB), entonces, p(A \ B) = p(A) – p(AÇB).  LQQD

TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AÈB)=p(A) + p(B) – p(AÇB).

DEMOSTRACIÓN:

Si AÈB = (A \ B) È B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A È B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) – p(AÇB), por tanto, p(AÈB) = p(A) + p(B) – p(AÇB).  LQQD

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