TEORIA DE CONJUNTOS

Rama de las matemáticas a las que el matemático Georg Ferdinand Ludwing Philipp Cantor es el padre de la Teoría de Conjuntos, dio su primer tratamiento formal en 1870. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito.

La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.

El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor.

¿QUE ES UN CONJUNTO?

Un conjunto es la agrupación, clase, o colección de objetos o en su defecto de elementos que pertenecen y responden a la misma categoría o grupo de cosas, por eso se los puede agrupar en el mismo conjunto. Esta relación de pertenencia que se establece entre los objetos o elementos es absoluta y posiblemente discernible y observable por cualquier persona. Entre los objetos o elementos susceptibles de integrar o conformar un conjunto se cuentan por supuesto cosas físicas, como pueden ser las mesas, sillas y libros, pero también por entes abstractos como números o letras.

Los conjuntos son materia de estudio de las matemáticas.

CLASES DE CONJUNTOS

Conjunto Finito: Es el conjunto al que se le puede determinar su cardinalidad o puede llegar a contar su ultimo elemento.

Ejemplo:

M= {*/x es divisor de 24}

M= {1,2,3,4,6,8,12,24}

Conjunto Infinito: Es el conjunto que, por tener muchisimos elementos, no se le puede llegar a contar su ultimo elemento.

Ejemplo:

A= {*/x sea grano de sal}

Conjunto Vacio: Es el conjunto cuya cardinalidad es cero ya que carece de elementos. El simbolo del conjunto vacio O o { }.

Ejemplo:

C={*/x sea habitantes del sol}

Conjunto Unitario: Es el conjunto que solo tiene un elemento. Su cardinalidad es uno (1).

Ejemplo:

D={*/x sea vocal de la palabra "pez"}

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

Hay tres  formas de determinar conjuntos.

• Forma Enumerativa, por Extension ó Forma Tabular:

La representacion enumerativa de un conjunto consiste en escribir uno a uno los elementos que conforman un conjunto dado.

Ejemplo:
A = { a, e, i, o, u }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }
C = { c,o , n, j, u, t, s } En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento.

• Por Comprension ó Forma Descriptiva:

Esta forma consiste en determinar la caracteristica comun entre los elementos que posee un conjunto.

Ejemplo:
A = { x/x es una vocal }
B = { x/x es un número par menor que 10 }
C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }

• Forma Grafica:

En esta forma se representa mediante una superficie limitada por una línea. En su interior se colocan los elementos del conjunto. Cada porción del plano limitada se nombra con una letra mayúscula.

Ejemplo:

OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNION DE CONJUNTOS:

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:

A U B = {x / x € A o x € B}

EJEMPLOS:

Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }

        a) A U C       b) B U C

• A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }
  A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }

• 
  
  B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }

           B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }         B U C = {x/x € N y x > 0 < 8 }



INTERSECCION DE CONJUNTOS:

La interseccion es el conjunto formado por los elementos que son comunes entre dos o mas conjuntos dados. Se denota por  A  B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:

A  B = { x / x € A y x € B }

EJEMPLOS:

Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }

         a) A  C         b)  B  C

• 
  
  A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }

           A  C = { 2 , 4 }

• 
  
  B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }

            B C = { O }



DIFERENCIA DE CONJUNTOS:

Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.

La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como:

A - B = {x / x € A y x  B}

A - B

EJEMPLOS:

Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }

       a) A - C          b) B - C

• A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }

          A - C = { a, b, c, e }

• 
  
  B = { a, e } y C = { d, f, g }

            B - C = { a, e }


DIFERENCIA SIMETRICA:

El conjunto diferencia simétrica de A y B está formado por los elementos del universo que pertenecen a uno y solamente uno de ellos, es decir, que pertenecen a A , o a B , pero no a ambos:

EJEMPLO:

Sean:
U = { p , r , s , t }
A = { p , s }
B = { r , s }
Entonces:

COMPLEMENTO DE CONJUNTOS:

Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa:

 A' = { x/x € U y x  A }

EJEMPLOS:

Sean U = { m, a, r, t, e } y A = { t, e }

Su complemento de A es: A' = { m, a, r }